Équation de la tangente à une courbe

Propriété

Soit `f`  une fonction définie sur `I` de \(\mathbb R\) et dérivable en un réel  `a\inI` .
Au point d’abscisse  `a` , la tangente à la courbe représentative de  `f`  a pour équation :

\(\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}\) .

Démonstration

Par définition, la tangente à la courbe représentative de  `f`  au point d'abscisse  `a` admet comme coefficient directeur \(f'(a)\)  donc son équation réduite est de la forme :  \(y=f'(a)x+p\)  où  `p`  est l'ordonnée à l'origine.
Déterminons `p :` comme la tangente passe par le point \(\text{A}(a;f(a))\) , les coordonnées du point \(\text{A}\) vérifient l'équation \(f(a)=f'(a)a+p\) , c'est-à-dire \(p=f(a)-af'(a)\) .
On en déduit que l'équation de la tangente s'écrit \(y=f'(a)x+f(a)-af'(a)\) , c'est-à-dire \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) .